계량경제학 1 - 확률 review
계량경제학에 필요한 실험, 표본, 사건, 확률, 확률 변수, 확률 분포, 기댓값, 분산 등의 경제통계학 기초 내용을 다룬다.
이 포스트는 계량경제학에 필요한 경제통계학 review이기 때문에 진술이 다소 엄밀하지 않을 수 있으며 자세히 다루지 않습니다.
진술의 흐름이 다소 어색할 수 있으나 큰 항목을 모두 읽고 작은 항목을 읽으면 편할겁니다.
1. 임의 실험(Random experiment)
임의 실험이란 예측할 수 없고 수행되어 관찰되기 전까지는 결과를 알 수 없는 실험.
ex) 공정한 동전 던지기, 균형 있는 주사위 굴리기
2. 표본 공간(Sample space)
임의 실험에서 나올 수 있는 모든 결과를 모은 것. 따라서 집합으로 표현된다.
ex) 공정한 동전을 던지는 실험의 표본 공간 = \(\{H, T\}\)
통상적으로 동전의 앞, 뒤를 각각 Head, Tail로 표현합니다.
3. 사건(Event)
실험 결과의 일부. 즉, 표본 공간의 부분 집합
ex)공정한 동전에서 앞면이 나오는 사건 = \(\{H\}\)
3-1. 여사건(Complementary event)
어떤 사건을 제외한 모든 결과들. 기호 \(A^c\)
3-2. 곱사건(product event)
둘 이상의 사건이 동시에 발생하는 사건 (이 사건이 발생할 확률을 결합 확률 이라고 한다.)
기호 \(\cap\)을 사용하여 표현한다. ex) \(A \cap B\)
3-3. 배반사건(exclusive event)
결합 확률이 0인 둘 이상의 사건
3-4. 합사건(sum event)
둘 이상의 사건에서 적어도 한 사건에 포함되는 사건
기호 \(\cup\)을 사용하여 표현한다. ex) \(A \cup B\)
4. 확률(Probability)
실험의 결과 혹은 사건 각각에 부여된 음이 아닌 수.
조금 더 엄밀하게 말하자면 표본공간을 \(\Omega\)라고 하고 임의 사건의 집합 \(F\) 의 원소\(S\)에 대해 정의되는 측도 \(Pr(S)\)에 대해 공간 전체의 측도가 \(1\)인 측도 공간 \((\Omega, F, Pr)\)을 확률 공간이라 하며 이때 측도 \(Pr(S)\)를 확률이라 한다.
ex) 공정한 동전에서 앞면이 나올 확률 = 1/2
엄밀한 진술에 대한 예시는 6번에 있다.
하위 확률들은 둘 이상의 사건에 대해서 정의된다.
4-1. 조건부 확률(Conditional probability)
한 사건이 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률 \(\mid\)를 사용하여 표현하며 값의 계산은 곱사건의 확률로 가능하다. \(P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}\)
4-2. 주변 확률(Marginal probability)
한 사건의 발생을 무시한 다른 사건의 확률. 결합확률분포 \(f_{X,Y}\left(x,y\right)\)에 대해서 \(X\)의 주변확률분포 함수는 르베그적분으로 정의되며 \(f_X\left(x\right)=\int _Y^{ }f_{X,Y}\left(x,y\right)dY\) 로 표현된다.
확률분포에 대해서는 아래에서 기술하지만 확률에 대해서 알아야 할 정보라서 여기에 작성했다.
5. 확률 변수(Random variable)
위에서 정의한 확률공간 \((\Omega, F, Pr)\), 가측 공간\((E, \varepsilon)\)에 대해서 측도 함수
\(X : ( \Omega, F) \to(E, \varepsilon)\) 을 확률변수라고 한다. 이 가측 공간을 상태 공간이라고도 한다.
ex) 공정한 동전을 던졌을 때 앞면을 1, 뒷면을 0이라 하는 확률변수 = \(X: \{ H, T \} \to \{ 1, 0 \}\)
6. 확률 분포(Probability distribution)
확률 변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수이다.
주사위를 던져 나오는 눈의 결과를 추상화한 확률공간
\[\begin{aligned} &(\Omega, F, Pr) \\ &\Omega = \{1,2, ...6 \} \\ &F=P(\{1, 2, ...6\}) \\ &Pr(\{1\})=Pr(\{2\})=Pr(\{3\})=Pr(\{4\})=Pr(\{5\})=Pr(\{6\})=1/6 \end{aligned}\]
를 확장하여 두 개의 주사위를 던진 눈의 결과를 추상화한 확률공간
\(\begin{aligned} &(\Omega \times \Omega, F \times F, Pr \times Pr) \end{aligned}\) 에서 두 눈의 수의 합을 나타내는 확률변수 \(Y\)는 \(Y : (i, j) \to i+j\) 로 표현 가능하며 이 확률변수가 가질 수 있는 값은 2~12까지 이고 각각의 확률은
가 된다. 이게 확률분포다.
7. 기댓값(Expected value)
기댓값은 쉽게 말해서 확률변수가 어떤 값을 가질지 기대할 만한 값이다. 흔히 평균이라고 하는 값도 기댓값이다.
엄밀하게 말하자면 확률공간\((\Omega, F, Pr)\) 위의 확률변수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)의 기댓값은 \(E\left(X\right)=\int _{Pr}XdPr\) 로 정의된다.
8. 분산(Variance)
분산은 확률변수가 기댓값으로부터 얼마나 퍼져있는지에 대한 지표이다. 따라서 확률변수 \(X\)의 분산은
\[\begin{aligned} V(X)&=E((\mu-X)^2) \\ &=E(\mu^{2}+X^{2}-2\mu X) \\ &=E(X^2)+\mu^2-2 \mu E(X) \\ &=E(X^2)-\mu^2 \\ \end{aligned}\]로 정의된다. 제곱을 하는 이유는 편차의 기댓값은 \(0\)이기 때문이다.
후기) 사실 계량경제학을 공부하면서 가장 어려웠던 것이 통계학인데 다시 봐도 정의는 쉽지 않군요… 예상 독자들이 확률 및 통계학을 어느정도는 아실거라 생각하기 때문에 좀 러프하게 측도론을 사용하여 기술했습니다. 측도론을 모르신다면 저와 함께 공부를… (퍽)
오타 혹은 잘못된 정보가 있다면 댓글 이메일 등등으로 알려주시면 감사하겠습니다. (꾸벅)