양자 컴퓨팅 8 - Superdense Coding and Quantum Teleportation
양자 얽힘을 이용한 초고밀도 코딩과 양자 순간이동에 대해서 다룬다.
0. Introduction
지난 포스트에서는 양자의 성질을 이용한 키 분배 알고리즘을 알아보았다. 이번엔 이 양자 성질 중 얽힘을 이용하여 1큐비트로 2비트의 정보를 보내는 초고밀도 코딩과 발신자로부터 수신자의 위치가 멀리 떨어져 있는 경우에도 순식간에 양자 정보를 전달하는 양자 순간이동에 대해서 알아보겠다.
1. Superdense coding(초고밀도 코딩)
초고밀도 코딩이란 얽혀있는 2큐비트 중 1개를 보냄으로서 2비트의 정보를 보내는 것을 말한다.
그 방식은 아래 네 단계로 진행된다.
\(1\). 엘리스와 밥은 얽힌 두 큐비트를 하나씩 나눠 갖는다.
여기선 편하게 설명하기 위해 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)\)큐비트를 사용하지만, 사실 임의의 얽힌 두 큐비트를 사용하든 상관없다. 하지만, 다른 상태의 큐비트를 사용하게 되면 그에 맞게 회로를 재구성해야한다.(아래의 양자 순간이동에서도 동일하다.)
\(2\). 엘리스는 보내고 싶은 2비트의 정보에 맞게, 갖고 있는 큐비트를 적절한 게이트에 통과시킨다.
\(00\)을 보내고 싶으면, \(I := \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\)를 사용하여 얽힌 큐비트의 상태를 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>)\)로 바꾼다.
\(01\)을 보내고 싶으면, \(X := \begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\)를 사용하여 얽힌 큐비트의 상태를 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|10> + |10>)\)로 바꾼다.
\(10\)을 보내고 싶으면, \(Z := \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\)를 사용하여 얽힌 큐비트의 상태를 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> - |11>)\)로 바꾼다.
\(11\)을 보내고 싶으면, \(Y' := \begin{pmatrix}0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\)를 사용하여 얽힌 큐비트의 상태를 \(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|10> + |10>)\)로 바꾼다.
11을 보낼 때 사용하는 게이트는 \(Y\)가 아니고 복소수를 실수화한 뒤 전치한 \(Y'\)게이트임을 유의하라.
\(3\). 엘리스는 본인의 큐비트를 밥에게 보낸다.
\(4\). 밥은 앨리스와 본인의 큐비트를 역 벨의 회로(reverse bell’s circuit)에 통과시켜 엘리스가 전달하고자 하는 2비트 정보를 확인한다.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>)\)를 역 벨의 회로에 통과시키면 \(|00>\)를 얻는다.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|10> + |10>)\)를 역 벨의 회로에 통과시키면 \(|01>\)를 얻는다.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> - |11>)\)를 역 벨의 회로에 통과시키면 \(|10>\)를 얻는다.
\(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|10> + |10>)\)를 역 벨의 회로에 통과시키면 \(|11>\)를 얻는다.
초고밀도 코딩의 과정을 간단하게 아래 그림처럼 표현할 수 있다.
그림을 보면 엘리스의 큐비트 부분에 X게이트와 Z게이트의 사용여부를 결정하는 \(b_1b_2\)비트가 보이는데 이게 엘리스가 보내고자 하는 비트이다.
추가로 \(Y' = ZX\), \(Z = Y'X\), \(X = ZY'\)인 사실을 알고 있으면 이해가 쉽다.
결과적으로 미리 얽힌 큐비트를 공유한 상태에서 1큐비트를 보내면 2비트 만큼의 정보를 보낼 수 있게 된다.
이것에는 하나의 큰 가정이 필요한데, 바로 1큐비트를 보내는 것이 1비트를 보내는 것 만큼 쉬워야 한다는 것이다.
그렇게 된다면 큐비트 채널의 대역폭이 기존 비트의 대역폭보다 두 배 정도 크게 된다.
2. Quantum Teleportation(양자 순간이동)
양자 순간이동은 초고밀도 코딩과 반대되는 기술이다. 즉, 2비트를 보내는 것으로 1큐비트 정보를 보내는 것이다.
그 방식은 아래의 다섯 단계로 진행된다.
\(1\). 엘리스와 밥은 얽힌 두 큐비트를 하나씩 나눠 갖는다. (초고밀도 코딩에서와 동일하게 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)\)사용)
\(2\). \(a|0>+b|1>\)라는 상태의 큐비트를 전송하기 위해 엘리스는 이 큐비트와 밥과 나눠 가진 얽힌 큐비트를 역 벨의 회로에 통과시킨다.
그림으로 보면 아래와 같다.
수식으로 계산해보면 아래와 같다.
우선 두 큐비트를 한 번에 계산하기 위해 텐서곱한다.
\((a|0>+b|1>)\otimes (\frac{1}{\sqrt{2}}|00>+\frac{1}{\sqrt{2}}|11>) = \frac{a}{\sqrt{2}}|000> + \frac{a}{\sqrt{2}}|011> + \frac{b}{\sqrt{2}}|100> + \frac{b}{\sqrt{2}}|111>\)
앞의 두 큐비트에 대해서 CNOT게이트 계산.
\(CNOT_{1,2}(\frac{a}{\sqrt{2}}|000> + \frac{a}{\sqrt{2}}|011> + \frac{b}{\sqrt{2}}|\textcolor{red}{10} 0> + \frac{b}{\sqrt{2}}|\textcolor{red}{11} 1>) = \frac{a}{\sqrt{2}}|000> + \frac{a}{\sqrt{2}}|011> + \frac{b}{\sqrt{2}}|\textcolor{red}{11} 0> + \frac{b}{\sqrt{2}}|\textcolor{red}{10} 1>\)
\(=|0>\otimes (\frac{a}{\sqrt{2}}|00> + \frac{a}{\sqrt{2}}|11>) + |1>\otimes (\frac{b}{\sqrt{2}}|10> + \frac{b}{\sqrt{2}}|01>)\)
첫 번째 큐비트에 대해 Hadamard게이트 계산.
\(\begin{align} &H_{1}(|\textcolor{red}{0} >\otimes (\frac{a}{\sqrt{2}}|00> + \frac{a}{\sqrt{2}}|11>) + |\textcolor{red}{1} >\otimes (\frac{b}{\sqrt{2}}|10> + \frac{b}{\sqrt{2}}|01>)) \notag \\ &= (\frac{1}{\sqrt{2}}|0> + \frac{1}{\sqrt{2}}|1>)\otimes ((\frac{a}{\sqrt{2}}|00> + \frac{a}{\sqrt{2}}|11>)) + (\frac{1}{\sqrt{2}}|0> - \frac{1}{\sqrt{2}}|1>)\otimes (\frac{b}{\sqrt{2}}|10> + \frac{b}{\sqrt{2}}|01>)) \notag \\ \end{align}\)
정리하면,
\(\frac{1}{2}|00>\otimes (a|0>+b|1>) + \frac{1}{2}|01>\otimes (a|1>+b|0>) + \frac{1}{2}|10>\otimes (a|0>-b|1>) + \frac{1}{2}|11>\otimes (a|1>-b|0>)\)
\(3\). 엘리스는 이 큐비트를 측정하여 밥의 큐비트 상태를 선택한다.
\(4\). 엘리스는 이 측정 결과를 밥에게 전송한다. (\(00\) or \(01\) or \(10\) or \(11\))
\(5\). 밥은 자신의 큐비트를 엘리스의 비트 정보에 맞게 특정 게이트에 통과시킨다.
\(00\)이면 \(I\)게이트
\(01\)이면 \(X\)게이트
\(10\)이면 \(Z\)게이트
\(11\)이면 \(Y'\)게이트
예를 들어, 엘리스가 \(10\)을 보내면 밥은 \(Z\)게이트를 사용할 것이다. \(Z(a|0>-b|1>) = a|0>+b|1>\)이니 성공적으로 엘리스의 큐비트 정보를 전달받는다.
양자 순간이동의 과정을 간단하게 아래 그림처럼 표현할 수 있다.
이 양자 순간이동의 방법을 보면 알겠지만 실제로 엘리스가 밥에게 보내는 정보는 2비트의 정보이다. 즉, 고전적인 채널을 통해 큐비트 정보를 보낼 수 있는 것이다.(물론 얽힌 큐비트가 사전에 나눠져 있어야 한다.)
정리하자면, 초고밀도 코딩은 (얽힌 큐비트) + 1큐비트 -> 2비트 정보 전달이고,
양자 순간이동은 (얽힌 큐비트) + 2비트 -> 1큐비트 정보 전달이다.
후기) 요즘 하루에 한 포스트씩 하고 있는데, 올 해 안에 다섯 가지의 주제에 대해서 마무리하는 걸 목표로 하고 있어서 열씸히 달리는 중입니다.
오타 혹은 잘못된 정보가 있다면 댓글 이메일 등등으로 알려주시면 감사하겠습니다. (꾸벅)