양자 컴퓨팅 6 - Entanglements

양자 컴퓨팅 포스트 보러가기

0. Introduction

지난 포스트에서는 양자 컴퓨터의 정보 단위인 큐비트에 대해 알아보았고 이 큐비트의 상태를 변화시키는 양자 게이트에 대해 알아봤다.

이 양자 게이트를 이용하면 얽힌 상태의 양자를 만들 수 있다. 하지만 이론상에서만 존재한다고 하면 실제로 이용할 수는 없을 것이다. 이에 벨이 증명한 실험을 소개한다.

1. Bell’s circuit(벨의 회로)

벨의 회로는 2큐비트 게이트로 첫 번째 큐비트에 아다마르 게이트를 적용하고 그 뒤에 CNOT게이트를 적용한 게이트이다.
\(|00>\)큐비트를 입력으로 한 벨의 회로는 아래 그림과 같다.

추가로 그 밖의 기저로 벨의 회로에 통과시키면 아래의 결과를 얻을 수 있다.

\(\begin{align} &B(|00>) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>) \notag \\ &B(|01>) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01> + |10>) \notag \\ &B(|10>) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00> - |11>) \notag \\ &B(|11>) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01> - |10>) \notag \\ \end{align}\)

벨의 회로는 Hadamard + CNOT이라고 했다. 그런데 CNOT + CNOT은 Identity이며, Hadamard + Hadamard도 Identity다.

이 성질을 이용하여 벨의 회로를 뒤집어 원상태로 되돌릴 수 있다.

이 뒤집힌 회로를 Reverse Bell’s Circuit이라 부른다.

2. Superposition(중첩)

1큐비트는 두 개의 상태 \(|0>\), \(|1>\)가 중첩된 상태로 표현된다.
예를 들어, \(\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\)로 표현된 양자 상태는 \(|0>\)으로 측정될 확률이 \(\alpha ^2\)이고 \(|1>\)로 측정될 확률이 \(\beta ^2\)인 것이다.
2큐비트는 네 개의 상태 \(|00>\), \(|01>\), \(|10>\), \(|11>\)의 중첩으로 표현되고,

n큐비트는 \(2^n\)개의 상태의 중첩으로 표현된다.

그렇다면 n큐비트 역시 적당한 벡터 혹은 행렬로 표현 되어야 계산될 수 있다.

이때 사용되는 것이 텐서곱(Tensor Product)이다.

2-1. Tensor Product(텐서곱)

두 큐비트 상태 \(u := \begin{pmatrix} u_0 \\ u_1 \end{pmatrix}\), \(v := \begin{pmatrix} v_0 \\ v_1 \end{pmatrix}\)에 대해서

이 둘의 텐서곱 \(u\otimes v := \begin{pmatrix} u_0 \cdot \begin{pmatrix} v_0 \\ v_1 \end{pmatrix} \\ u_1 \cdot \begin{pmatrix} v_0 \\ v_1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_0v_0 \\ u_0v_1 \\ u_1v_0 \\ u_1v_1 \end{pmatrix}\) 로 정의된다.

이 연산을 계속하여 n큐비트 상태를 벡터로 표현할 수 있다.

디렉 표기법에 따라서 \(|0>\otimes |1> \Rightarrow |01>\), \(|0>\otimes |1>\otimes |0> \Rightarrow |010>\)이런 식으로 표현한다.

2-2. 텐서곱의 성질

여기서는 텐서곱의 몇 가지 성질을 소개한다.

\(u \in \mathbb{C}^n,\ v \in \mathbb{C}^m \Rightarrow u\otimes v \in \mathbb{C}^{nm} \notag \\\)
\(\mathrm{for\ scalars}\quad s\ \&\ t\ ,\ su\otimes tv = (st)u\otimes v = u\otimes (st)v \notag \\\)
\((u\otimes v)\otimes w = u\otimes (v\otimes w) \notag \\\)
\((u+v)\otimes w = u\otimes w + v\otimes w \notag \\\)
\(u\otimes (v + w) = u\otimes v + u\otimes w \notag \\\)
\(u\otimes v \neq v\otimes u \notag \\\)

2-3. Kronecker product(크로네커 곱, 행렬의 텐서곱)

위에서는 벡터 형태의 텐서곱을 이야기했다. 이번엔 행렬로 확장하여 텐서곱을 알아보자.
행렬 \(A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,m} \\ \end{pmatrix}\)와 \(p\times q\)행렬 \(B\)에 대해서
두 행렬의 텐서곱 \(A\otimes B = \begin{pmatrix} a_{1,1}B & \cdots & a_{1,m}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}B & \cdots & a_{n,m}B \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}b_{1,1} & \cdots & a_{1,1}b_{1,q} & \cdots & \cdots & a_{1,m}b_{1,1} & \cdots & a_{1,m}b_{1,q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1,1}b_{p,1} & \cdots & a_{1,1}b_{p,q} & \cdots & \cdots & a_{1,m}b_{p,1} & \cdots & a_{1,m}b_{p,q} \\ \vdots & & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ \vdots & & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1}b_{1,1} & \cdots & a_{n,1}b_{1,q} & \cdots & \cdots & a_{n,m}b_{1,1} & \cdots & a_{n,m}b_{1,q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}b_{p,1} & \cdots & a_{n,1}b_{p,q} & \cdots & \cdots & a_{n,m}b_{p,1} & \cdots & a_{n,m}b_{p,q} \\ \end{pmatrix}\) 이다.

이 행렬 텐서곱에 대해서도 위의 텐서곱의 성질을 만족한다.

1.\((A\otimes B)(u\otimes v) = Au\otimes Bv\)
2.\((A\otimes B)(C\otimes D) = AC\otimes BD\)

1번 성질을 말로 풀어 설명해보자면, 큐비트가 \(u\), \(v\)인 양자 상태를 \(A\), \(B\)게이트에 동시에 통과시키는 것은 \(u\), \(v\)를 각각 \(A\), \(B\)에 통과시킨 결과와 동일하다는 것이다.

2번 성질은 2큐비트 게이트를 두 번 통과 시키는 것은 각각을 분해하여 순차적으로 통과시킨 것과 동일하다는 것이다.

3. Entanglement(얽힘)

양자를 동전에 비유하여 표현해보자.
동전의 앞, 뒤를 각각 \(|0>\), \(|1>\)이라 두면, 첫 번째 동전은 \(p_1|0> + q_1|1>\), 두 번째 동전은 \(p_2|0> + q_2|1>\)라고 쓸 수 있을 것이다.
만약 두 동전이 독립이라면, 두 동전의 상태 벡터는 \((p_1|0> + q_1|1>)\otimes (p_2|0> + q_2|1>) = p_1p_2|00> + p_1q_2|01> + q_1p_2|10> + q_1q_2|11>\) 이다.

하지만 두 큐비트가 독립이 아닌 경우가 있을 것이다. 이 경우에 두 큐비트는 얽혀있다고 한다.
수식으로 써보자면, \((p_1|0> + q_1|1>)\otimes (p_2|0> + q_2|1>)\)와 같은 형태로 표현될 수 없다는 것이다.

예를 들어, 벨의 회로에 \(|00>\)큐비트를 통과시키면 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>)\)가 된다고 했다.
이는 위의 형태로 분해 불가능하기 때문에 얽혀있는 상태로 만든 것이다.

원래 2큐비트가 있다고 하면 둘을 각각 측정할 수 있다. 하지만 이 얽힘이 적용된 2큐비트의 경우엔 둘 중 하나의 큐비트를 측정하는 순간 다른 하나의 큐비트의 상태가 결정된다.(얼마나 멀리 있든 상관없이)

예시를 들어 설명해보자면, \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>)\)이런 2큐비트가 있다고 해보자. 이때 두 큐비트 간의 거리가 1광년을 넘어간다고 했을 때 조차도 한 쪽에서 큐비트를 측정하여 0이라는 결과를 얻어낸 순간 다른쪽의 큐비트가 0으로 결정되어 버린다는 것이다.
얼핏 보면, 정보 전달의 속도가 빛보다 빠른 것처럼 보일 수는 있으나 사실은 그렇지 않다. 왜냐하면, 이 얽힌 큐비트 간의 관계는 하나의 계 안에 있는 것으로 어떠한 정보전달이 존재하지 않고 상호작용만 하는 것이기 때문이다.

4. Bell’s Experiment(벨의 실험) - Copenhagen interpretation(코펜하겐 해석)

위에서 양자 상태의 얽힘에 관하여 이야기를 했지만, 이것은 주류 해석을 소개한 것이고 이에 반박하는 논리들이 있다. 가령, 이 상호작용은 거리에 반비례하는 관계를 갖고 있다든지, 아직 찾지 못한 숨은 변수가 존재한다든지 말이다.

이에 반박하는 코펜하겐의 해석을 뒷받침하는 실험이 하나 있다. 이게 벨의 실험이다.

벨의 실험의 아이디어는 이것이다.
만약 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |11>)\)상태의 2큐비트를 \({|00>,\ |11>}\)와 다른 기저로 측정하면 어떻게 될 것인가이다.

실험내용은 아래의 세 단계를 반복하는 것으로 한다.

1. 얽힌 두 큐비트를 두 곳에 나눈다.
   
2. 세 개의 정규직교기저를 설정한다.
   
3. 두 관찰자는 각각의 큐비트를 위에서 결정한 세 정규직교기저 중 하나를 선택하여 측정한다.

4-1. Exercise

얽힌 두 큐비트를 나눈 인물은 엘리스(Alice)와 밥(Bob)이라고 하자.

우리가 선택한 세 정규직교기저는 아래 그림과 같으며 순서대로 1, 2, 3번 기저라고 하자.
또한, 그림의 파란 벡터가 0으로 기록되고 오렌지 벡터가 1로 기록된다고 정하자.

4-1-1. Case #1

엘리스와 밥이 같은 기저로 측정한 경우, 둘의 기록은 같을 것이다. (0이든 1이든)

4-1-2. Case #2

엘리스와 밥이 다른 기저로 측정한 경우엔,

우선 엘리스가 2번 기저를 사용하여 측정했다고 한다면, 2번 기저의 벡터 중 하나로 기록될 것이다.
그 뒤에, 밥이 3번 기저를 갖고 측정한다 하면, 3번 기저 벡터 중 엘리스가 기록한 것과 동일한 색의 벡터가 측정될 확률이 1/4, 그 반대가 3/4가 된다. 하지만 얽힘 현상 때문에 1/4이 될 수 밖에 없다.

그 밖의 1-3조합, 3-2조합 등의 모든 경우에 대해서도 이와 동일한 결과를 얻게 된다.

따라서 엘리스와 밥이 같은 상태의 양자를 측정하게 될 확률은 \(\frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

4-2. Hidden variable(숨은 변수 이론)

숨은 변수 이론에 따르면 모든 양자 상태는 사전에 결정되어있고 측정은 이 결정된 양자 상태를 확인하는 것이다.

세 가지 기저로 측정했을 때 각각 0과 1이 있으니 가능한 총 경우는 8가지(000, 001, 010, …, 111)일 것이고,

두 사람이 측정하니 (첫 번째 사람이 측정하는 기저, 두 번째 사람이 측정하는 기저)로 표현한다면, (a, a), (a, b)… (c, c)로 측정의 경우를 나눌 수 있을 것이다.

따라서 000의 경우를 (a, a)로 측정한 결과의 경우 둘 다 0이니 참
001의 경우를 (a, c)로 측정한 경우 전자는 0이지만, 후자는 1이니 거짓
이런 식으로 8가지의 경우에 대해 9가지 측정 방식을 모두 결정해보면 아래 그림처럼 결과가 나온다.

위 표를 보면 알겠지만 임의의 양자 상태에 대해서 두 사람이 측정한 값이 같은 경우는 적어도 5개 이상이다. 즉, 측정된 두 양자 상태가 같을 확률은 적어도 \(5/9\)이상이다.

5. 벨의 실험 결과

위 모든 내용에 따르면 코펜하겐 해석에서는 벨의 실험 결과 상 두 사람이 동일한 확률이 \(1/2\)이고,
숨은 변수 이론에 따르면 벨의 실험 결과는 \(5/9\)이상이 되어야 한다.

하지만 1972년 J. Clauser, S. Freedman에 따르면 실험 결과가 \(1/2\)로 나타났다. (논문 참고 링크)

이는 양자역학은 전통적인 물리법칙으로 해석할 수 없고 중첩이라는 상태, 얽힘이라는 상태가 존재할 수 있음을 말한다.

후기) 이번에는 양자역학에서의 얽힘이란 무엇인가에 대해서 알아보았다. 숨은 변수 이론의 표를 해석하는 것이 조금 어려웠지만 최선을 다해서 설명했습니다. 다음 포스트는 이 얽힘을 이용한 보안성을 가진 정보 전달 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

오타 혹은 잘못된 정보가 있다면 댓글 이메일 등등으로 알려주시면 감사하겠습니다. (꾸벅)