양자 컴퓨팅 3 - N/S Spin Experiment Exercises

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0. Introduction

이번 포스트에서는 지난 포스트에서 다뤘던 슈테른 게를라흐 실험의 결과를 수식으로 해석해본다.

크게 아래 두 가지 내용을 다룰 예정이다.

1. 양자 상태를 어떻게 정의하고 해석하는지
2. 실험의 결과를 양자 공리를 통해 어떻게 해석하는지(NS spin experiment, 편광판 실험)

1. 양자 상태(Quantum State)

양자 상태란, 어떤 물리계(입자, 광자, 원자 등)가 가질 수 있는 모든 정보를 담고 있는 수학적 표현으로, 복소수 힐베르트 공간의 벡터(또는 밀도 연산자)로 나타난다.

말이 좀 어려운데 쉽게 예시를 들어 말해보자면, 슈테른-게를라흐 실험에서 N의 상태를 0, S의 상태를 1이라고 수량화 하면, 이 0과 1로 은 원자 빔(전자든 광자든 상관없음)의 상태를 수량화하여 나타낸 것을 말함.

구체적으로 Spin N = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \quad\) Spin S = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \quad\) 임의의 상태 = \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} \quad , c_1^2 + c_2^2 = 1\) 로 쓸 수 있겠다.

양자 상태의 표현 방식은 크게 두 가지가 있다.

1-1. 순수 상태(Pure State)

순수 상태는 양자 상태가 하나의 벡터로 표현되는 경우를 말한다.

직교하는 상태들의 중첩으로 표현 가능하다.

예를 들어, \(\vert \psi > = \sum _{i}^{} p_i|\phi _{i}>\)이런 식으로 표현 가능하다. 여기서 \(\|p_i\|=1\)를 만족한다.

1-2. 혼합 상태(Mixed State)

혼합 상태는 양자 상태가 직교하지 않는 파동함수들로 중첩된 경우를 말한다.

순수 상태와는 조금 달리 표현된다.

\(\sum _{i}^{n} p_i|\psi _i>\)이고 \(\sum _{i}^{n} p_i = 1\)을 만족한다.

이번 주제가 양자컴퓨팅인 만큼 0과 1의 상태만 구분하면 되기 때문에 순수 상태만을 사용하여 포스팅을 할 예정이다.

2. 양자 상태의 관측(Observation)

양자 상태의 관측은 정규 직교 기저와 일치한다.
이게 무슨 말이냐면, 양자 상태가 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \quad\) 이렇게 두 개의 벡터의 선형결합으로 표현된다는 것은 이 양자의 측정결과가 반드시 이 둘 중 하나라는 것이다.

관측의 확률 분포는 정규 직교 기저의 선형결합의 계수로 결정된다.
예를 들어 설명해보자면,
양자 상태를 나타내는 정규 직교 기저가 \(\{|b_1>,\ \ |b_2> \}\)일때, 양자 상태가 \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix}\) 라면, \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1|b_1> + p_2|b_2>\) 로 표현 가능하고 여기서 \(|b_1>\)이 관측될 확률은 \(p_1^2\)로 결정되고 \(|b_2>\)이 관측될 확률은 \(p_2^2\)로 결정된다는 것이다.

3. NS spin 해석

우선 계산의 단순화를 위해 Spin N = \(|b_1> = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\) Spin S = \(|b_2> = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \quad\) 라고 두겠다. 두 벡터는 정규 직교 기저를 이룬다.
임의 상태의 양자 \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix}\) 를 N-S자기장에 통과시키면 \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =c_1|b_1> + c_2|b_2>\) 관계식에 의해 N에서 관측될 확률이 \(c_1^2\), S에서 관측될 확률이 \(c_2^2\)가 된다.

3-1. NS-EW 해석

NS 자기장을 통과한 뒤 N의 뒤에 EW자기장을 뒀으니 입력되는 은 원자 빔의 상태는 N spin상태이다. 이제 EW자기장의 정규 직교 기저를 정해야 한다.
NS 자기장과 EW자기장의 각도가 90도이니 90만큼 기저 벡터를 회전하면 될 것 같지만 실제로는 그렇지 않다. 왜냐하면 NS 자기장의 기저 벡터의 각도가 90도이기 때문이다. NS라고 하면 180도여야 하지만 90도로 되었기 때문에 1/2배 하여 각도 계산을 해야한다.
따라서 시계방향으로 90 차이이니 시계방향으로 45도 회전한 기저 벡터가 EW 정규 직교 기저가 된다.

EW 정규 직교 기저가 다음과 같으니,

\[|B_1> = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} , \ \ |B_2> = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}\]

이고,

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} =p_1|B_1> + p_2|B_2>\) 관계식이 성립한다.
이로부터 \(p_1^2 = p_2^2 = 0.5\)라는 결과를 얻을 수 있다.

위 확률의 결과는 NS자기장을 통과하여 N에서 나온 은 원자 빔이라도 EW자기장을 통과했을 때 둘 중 한 곳에서 동일한 확률로 발견될 수 있다는 것을 의미한다.

3-2. NS-EW-NS 해석

NS-EW 자기장을 통과한 원자 중 E의 뒤에 다시 NS 자기장을 두었을 때 S쪽에서 관측이 되는지 이론적으로 확인해본다. E위치의 뒤에 NS자기장을 두었으니 NS자기장을 통과할 은 원자의 상태는 \(|B_1>\)이다.
NS 자기장은 아까 처음에서 했던 정규 직교 기저 \(b_1,\ b_2\)를 사용하면 된다.

수식을 세우면, \(|B_1> = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} = q_1|b_1> + q_2|b_2>\) 이다.
이로부터 계산을 해보면 \(q_1^2 = q_2^2 = 0.5\)라는 결과를 얻을 수 있다.

위 확률의 결과는 NS-EW자기장을 통과하여 N-E에서 나온 은 원자 빔이라도 NS자기장을 통과했을 때 N, S 둘 중 한 곳에서 동일한 확률로 발견될 수 있다는 것을 의미한다.

이 세 가지 관찰의 과정 속에서 굳이 NS자기장을 90도 회전할 필요는 없다. 60도만 회전시키더라도 마지막 NS자기장을 통과할 뒤 S에서 관측될 수 있다.

4. 편광판 해석

빛은 광자로 구성되어 있기 때문에 양자 메커니즘에 의해 해석될 수 있다. 또한 편광 필름은 특정 진동방향의 광자만 통과시키고 그 외는 막아버린다.
떄문에 편관판 현상의 해석은 NS spin문제와 거의 비슷하게 해결할 수 있다.
편광판의 기울기에 따라 아래와 같이 정규 직교 기저를 설정할 수 있다.

이하 실험 해석의 간소화를 위해 위 편광판을 순서대로 1번, 2번, 3번으로 부르겠다.

실험 1.

Q. 두 개의 직교하는 편광판을 연속해서 놨을 때(예를들어, 1-2번 순) 어떤결과가 나오는가?
A. 임의의 입력 광자의 상태는 \(\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \end{pmatrix}\) 라고 둘 수 있고, 1-2번 상황이라고 가정했을 때 1번 편광판을 지나는 순간 \(p_2^2\)의 확률로 입력 광자가 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\) 상태로 관측된다. 이후 2번 편광판을 두면 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\) 상태는 통과할 수 없기 때문에 광자는 1-2편광판을 통과할 수 없음. 따라서 빛이 투과되지 못해 보이지 않음.

물론 \(p_2\)는 0일 수도 있다. 하지만 첫 번째 편광판을 통과하지 못한 광자는 두 번째 편광판에 어차피 도달하지 못하기 때문에 해석은 바뀌지 않는다.

실험 2.

Q. 두 개의 직교하는 편광판을 양 끝에 두고 그 가운데에 기울기를 달리한 편광판을 두면(예를들어 1-3-2순) 어떤결과가 나오는가?
A. 임의의 입력 광자의 상태는 \(\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \end{pmatrix}\) 라고 둘 수 있고, 1-3-2번 상황이라고 가정했을 때 1번 편광판을 지나는 순간 \(p_2^2\)의 확률로 입력 광자가 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\) 상태로 관측된다. 이후 3번 편광판을 두면 \(\cos ^2\theta\)의 확률로 \(\begin{pmatrix} \sin{\theta} \\ \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}\) 상태의 광자가 통과한다. 마지막으로 2번 편광판을 뒤에 둬 광자를 통과시키면, \(\sin ^2\theta\)의 확률로 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) 상태의 광자가 통과한다. 따라서 이 경우 세 편광판을 모두 통과하는 광자가 존재해 빛이 투과할 수 있다.
추가로, 최종적으로 투과하는 광자의 비율을 계산해 볼 수 있는데 각 편광판을 투과할 확률을 곱해보면 된다.
\(투과비율 = p_2^2\cos ^2\theta \sin ^2\theta\)

5. 부록

아까 양자 상태의 관측 파트에서 \(\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1|b_1> + p_2|b_2>\) 이 표현의 확률 측도가 1임을 보일 수 있는데 증명은 아래와 같다.

\[\begin{align} &양변에\ <b_1|를\ 내적하면, \notag \\ &<b_1| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1<b_1|b_1> + p_2<b_1|b_2> \notag \\ \Rightarrow &<b_1| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1 \times 1 + p_2 \times 0 = p_1 \tag{1} \\ \notag \\ &양변에\ <b_2|를\ 내적하면, \notag \\ &<b_2| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1<b_2|b_1> + p_2<b_2|b_2> \notag \\ \Rightarrow &<b_2| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} =p_1 \times 0 + p_2 \times 1 = p_2 \tag{2} \\ \notag \\ &(1),\ (2)로\ 부터\ 아래가\ 성립 \notag \\ p_1^2 + p_2^2 &= <b_1| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \end{pmatrix} |b_1> + <b_2| \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \end{pmatrix} |b_2> \notag \\ &=(c_1^2 + c_2^2)<b_1|b_1> + (c_1^2 + c_2^2)<b_2|b_2> \notag \\ &=1 \times 1 + 1 \times 1 = 1 \notag \\ \notag \\ & \therefore p_1^2 + p_2^2 = 1 \notag \end{align}\]

양자 상태를 나타내는 모든 대수 상태는 일반적으로 복소수 범위에서 논해진다.

후기) 이번 포스트에서는 지난 포스트에서 정성적으로 다뤘던 NS Spin실험을 양자 공리를 기반하여 해석해봤습니다. 계산 자체가 어렵지는 않아서 간단한 벡터의 내적 개념으로도 이해할 수 있도록 정리해봤습니다. 다음 포스트는 양자 컴퓨터를 구성하는 양자 게이트 내용입니다.

오타 혹은 잘못된 정보가 있다면 댓글 이메일 등등으로 알려주시면 감사하겠습니다. (꾸벅)